1、文章引言
    　　多股線可以用來(lái)減小渦流電流損耗，否則嚴(yán)重的渦流電流損耗將限制高頻磁性元件的性能。不過多股線的價(jià)格十分昂貴，設(shè)計(jì)者們往往避免使用它。本文提出了一種考慮價(jià)格的設(shè)計(jì)方法。在不增加損耗的同時(shí)大幅度地降低價(jià)格，或者，允許設(shè)計(jì)者在任何給定價(jià)格的前提下選擇損耗最低的設(shè)計(jì)方案。在一個(gè)具體的設(shè)計(jì)實(shí)例中，系統(tǒng)的價(jià)格比憑經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)的價(jià)格降低了五倍多，同時(shí)損耗也并未增加。
    　　許多人都計(jì)算過多股線變壓器繞組的損耗，卻很少研究涉及到下面的設(shè)計(jì)問題：如何為一個(gè)特定的應(yīng)用，選擇多股線的直徑和股數(shù)。有人計(jì)算出了損耗最小的最佳股線參數(shù)。但是這樣的設(shè)計(jì)，會(huì)使價(jià)格相當(dāng)昂貴，而且與可能實(shí)現(xiàn)的低價(jià)格方案相比，其損耗的減少僅僅少了一點(diǎn)。盡管也提到了在最小股線直徑或最大股數(shù)限制條件下的股線的選擇，但是真正的限制條件應(yīng)該是價(jià)格而不是上面的這些因素。
    　　本文中的價(jià)格分析分為兩個(gè)層次完成。首先，假設(shè)描述多股線損耗函數(shù)的一般公式。這樣在給定變壓器繞組的情況下，給出了價(jià)格函數(shù)的一般分析結(jié)果，描述出選擇的最佳線。第二個(gè)層次中，雖然結(jié)果的一般性有所減少，價(jià)格函數(shù)呈現(xiàn)顯式，從制造商的價(jià)格行情所擬合的多項(xiàng)式曲線獲得的，更具明顯性。本文用一個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例概述并詳細(xì)說明了一種可應(yīng)用于普遍情況，卻以特定價(jià)格函數(shù)為形式的設(shè)計(jì)方法。
    　　許多的繞組損耗分析只提到了正弦電流波形，不過高頻功率變換中的磁性元件卻很少有接近正弦的波形。一部分作者已經(jīng)研究出了將繞組損耗分析擴(kuò)展到非線性波形分析的方法。其中特別有趣的是"有效頻率"，因?yàn)檫@種方法允許使用無(wú)需修改的基于正弦波形的優(yōu)化。 
    　　2、損耗模型

    　　多股線繞組中的趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)可以分為束層效應(yīng)(bundle level)和股層(strand level)效應(yīng)，如圖1所示。選擇合適的結(jié)構(gòu)，股層的鄰近效應(yīng)起主要作用，因此在選擇股數(shù)時(shí)必須對(duì)其加以考慮。
    　　繞組損耗表示如下：
    　　Ploss=FrIac2Rdc (1)
    　　式中Fr是聯(lián)系直流電阻和交流電阻的因子，Iac是正弦電流的給定有效值幅度 ，從而決定所有的繞組損耗。正如附錄A中討論的，內(nèi)部和外部的股層鄰近效應(yīng)損耗可以用下面的近似表達(dá)式：

　　(2)

    　　式中：ω正弦電流的角頻率;n股數(shù);N匝數(shù);dc每股中銅線的直徑;pc銅導(dǎo)線的電阻系數(shù);bc線芯的窗口區(qū)域?qū)挾?k附錄A中定義的因子，它能夠解釋多繞組變壓器中的磁場(chǎng)分布，一般情況下該因子等于1。
    　　對(duì)于帶有直流分量的波形以及某些非正弦波形，可推導(dǎo)出一個(gè)等效頻率并將其應(yīng)用在本分析中。電感器中，繞組區(qū)域內(nèi)的磁場(chǎng)由氣隙結(jié)構(gòu)決定，不能直接用本公式。
    　　3、價(jià)格分析
    　　目前，價(jià)格定量的學(xué)術(shù)分析問題仍未得到解決。價(jià)格隨體積、制造商、時(shí)間和流通變化。但是，許多重要的結(jié)論只取決于價(jià)格函數(shù)的一般形式。附錄中推導(dǎo)的最佳價(jià)格/損耗折衷設(shè)計(jì)的一般解，僅僅取決于一個(gè)假設(shè)，即多股線長(zhǎng)度的價(jià)格可以用下式近似表示：
    　　Cost=(Co+Cm(dc)dc2n)l. (3)
    　　式中:Co表示與捆包及服務(wù)運(yùn)作有關(guān)的每單位長(zhǎng)度的基本價(jià)格;Cm(dc)價(jià)格基本函數(shù)，在給定股線直徑dc的情況下，它正比于每單位體積的附加價(jià)格;n股數(shù);l導(dǎo)線長(zhǎng)度。
    　　由于并沒有Cm(dc)函數(shù)的特定形式，公式(3)中，不失一般性地假設(shè)Cm僅取決于dc，而與n無(wú)關(guān)。對(duì)多股線制造商進(jìn)行的定價(jià)調(diào)查表明，該假設(shè)近似有效。注意，為了在繞組長(zhǎng)度固定情況下優(yōu)化，可以忽略Co，只考慮正比于Cm(dc)dc2n的價(jià)格變化量。
    　　要了解有關(guān)價(jià)格變化的知識(shí)，給出明確的數(shù)字結(jié)果，求得Cm(dc)近似表達(dá)式是會(huì)有用的。從制造商們的定價(jià)中可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)線直徑很大時(shí)，下面公式的值便歸一化為1，而且在很大的n值和dc值范圍內(nèi)都是個(gè)很好的近似公式。

 　　(4)

 

    　　式中，dc以米為單位， k1=1.1×10-26米6，k2=2×10-9米2。該函數(shù)與每單位質(zhì)量的價(jià)格成正比，如圖2所示，圖中還畫出每單位長(zhǎng)度的歸一化價(jià)格值 。直徑很大時(shí)， 近似為常數(shù)，不過在接近40AWG時(shí)，它開始急劇增大。值得注意的是44AWG處每單位長(zhǎng)度的價(jià)格最小。48AWG處，每單位長(zhǎng)度的價(jià)格顯著增大，而且每單位質(zhì)量的價(jià)格也劇烈增加。很少有制造商能夠供應(yīng)使用更細(xì)股線的結(jié)構(gòu)，盡管公式(4)并不是基于此點(diǎn)以外的數(shù)據(jù)建立的，但是在該點(diǎn)以外，曲線仍快速增長(zhǎng)。雖然(4)表示的是一個(gè)平滑函數(shù)，但是標(biāo)準(zhǔn)尺寸的導(dǎo)線比任選尺寸的導(dǎo)線更便宜，所以實(shí)際的價(jià)格函數(shù)有明顯的紋波。特別是，偶股數(shù)尺寸的導(dǎo)線一般比奇股數(shù)尺寸的導(dǎo)線更便宜，更容易得到。還對(duì)體積十分敏感，體積足夠大時(shí)，使用奇股數(shù)的甚至是專門訂做的尺寸，也不會(huì)受到懲罰。因此，本文的分析將它忽略不計(jì)，假設(shè)價(jià)格由上面給出的平滑函數(shù)表示。
    　　4、股數(shù)及股線直徑的選擇
    　　股數(shù)和股線直徑選擇的設(shè)計(jì)可以化為一個(gè)二維空間來(lái)加以說明。在繞滿骨架的情況下，空間內(nèi)可供選擇的點(diǎn)形成一條直線，價(jià)格和損耗之間的折衷，也就變成了該直線上各點(diǎn)的價(jià)格和損耗的簡(jiǎn)單估計(jì)。然而在價(jià)格受限制的情況下，繞滿骨架通常都不是最好的，于是我們就必須選擇二維空間內(nèi)的一點(diǎn)，而不是簡(jiǎn)單的選取直線上的一點(diǎn)。
    　　本節(jié)中將結(jié)合圖形使用近似的曲線擬合價(jià)格函數(shù)公式，研究股線直徑/股數(shù)空間。附錄中給出了獨(dú)立于價(jià)格函數(shù)公式(4)的更具一般性的等效結(jié)果的代數(shù)推導(dǎo)。

    　　可以將(3)和(4)給出的總價(jià)格，表示成股線尺寸和股數(shù)空間內(nèi)的一組價(jià)格等值線(如圖3所示)。這些曲線是價(jià)格值相等的曲線，可以將圖2中的每單位長(zhǎng)度的價(jià)格曲線壓扁，來(lái)理解這些曲線的形狀。 當(dāng)尺寸接近44AWG時(shí)，每單位長(zhǎng)度的導(dǎo)線價(jià)格下降，所以在相同價(jià)格下可以買到更多的股線。因此圖3中的曲線，在每單位長(zhǎng)度價(jià)格最小的導(dǎo)線規(guī)格處，股線數(shù)量達(dá)到最大。

 

 

    　　在任意給定的價(jià)格等值曲線上，最好的設(shè)計(jì)是選擇損耗最小的點(diǎn)。圖4畫出損耗等值線和圖3中的價(jià)格等值線。這些曲線都是根據(jù)一個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例繪制的，即在一個(gè)RM5尺寸的鐵氧體磁心上繞14匝線圈，并在線圈中通1MHz電流。骨架的寬度為4.93mm，鐵心窗口的寬度為6.3mm。損耗與FrRdc成正比，因此損耗等值線可由公式(2)和簡(jiǎn)單的直流電阻計(jì)算公式算出。每條價(jià)格等值線與損耗等值線集合中曲線的切點(diǎn)處的損耗最小。在任意給定的損耗約束條件下，這組點(diǎn)集也是價(jià)格最小的點(diǎn)集。如圖4所示。也可以以價(jià)格和損耗為坐標(biāo)軸繪出相同的這些點(diǎn)，這樣設(shè)計(jì)者可以從中選擇合適的折衷值(見圖5)。

    　　不考慮設(shè)計(jì)參數(shù)，價(jià)格/損耗折衷曲線有著相同的形狀，如圖5所示。因此，歸一化為相同參考股線直徑的價(jià)格/損耗曲線與圖5中的曲線完全相同，其中價(jià)格和損耗都已經(jīng)以44AWG線規(guī)的價(jià)格與損耗值歸一化為基準(zhǔn)。只要骨架未繞滿，就可以使用該曲線估計(jì)任何設(shè)計(jì)中的價(jià)格/損耗折衷值。注意，圖中的點(diǎn)并不表示該線規(guī)的最低損耗設(shè)計(jì)，而是表示給定價(jià)格時(shí)的最低損耗設(shè)計(jì)，圖中還給出實(shí)現(xiàn)該設(shè)計(jì)的線規(guī)尺寸。
    　　可以用一組最佳價(jià)格/損耗設(shè)計(jì)的 值(如圖6所示)的形式給出實(shí)現(xiàn)圖5中任意選擇點(diǎn)的設(shè)計(jì)所需的剩余信息。與圖5相同(但與圖4不同)，圖6畫出了用于骨架未繞滿的任何變壓器設(shè)計(jì)的一般結(jié)果。該結(jié)果僅由價(jià)格函數(shù)(4)式?jīng)Q定。
    　　附錄中從理論上推導(dǎo)圖5和圖6所示的結(jié)果。為了畫出圖6，可以用

　　(5)

    　　其中，Cm(dc)為任意給定的價(jià)格函數(shù)。
    　　附錄中還包含一個(gè)系數(shù)　　(6)

    　　式中C1是減去常數(shù)項(xiàng)C0后的價(jià)格，且總損耗

　　(7)

    　　對(duì)任何價(jià)格函數(shù) ，都可以把dc看作是一個(gè)參數(shù)，用等式(6)和(7)產(chǎn)生如圖5中的那些點(diǎn)。
    　　5、設(shè)計(jì)實(shí)例
    　　本節(jié)中，將詳細(xì)地闡述上述結(jié)果在一個(gè)具體設(shè)計(jì)實(shí)例中的應(yīng)用。
    　　該實(shí)例是一個(gè)30匝對(duì)30匝的變壓器，原邊和副邊都繞在一個(gè)EC-70鐵氧體磁心上，其中兩邊繞組中都通有150kHz，有效值80A 的正弦波電流。就所求的目標(biāo)而言，不一定要知道電壓，為具體起見，可以假設(shè)并聯(lián)負(fù)載諧振變換器中為方波電壓300V(峰-峰值電壓600V )。這在一個(gè)典型的功率鐵氧體材料中，產(chǎn)生幅度為60mT的磁通，約1.4W的鐵心損耗，輸出功率2160W。鐵心窗口寬度 bc=44.6mm，骨架允許有 bω=41.5mm乘以24mm高的繞組區(qū)域，兩個(gè)繞組都占據(jù)12mm的高度。
    　　一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)過程可能以制造商的貨物價(jià)目表為起點(diǎn)，它推薦100kHz到200kHz范圍內(nèi)的40AWG的多股導(dǎo)線。在分配的窗口區(qū)域內(nèi)放30匝線圈，每個(gè)標(biāo)準(zhǔn)40AWG最多可能有1100股線束。正如制造商的應(yīng)用說明所指出的，對(duì)內(nèi)部鄰近效應(yīng)損耗的分析，預(yù)測(cè)出這種結(jié)構(gòu)的交流電阻因數(shù)為1.19，表面上似乎與貨物價(jià)目表中的介紹相吻合。但是這只對(duì)于單個(gè)被隔離的多股線是正確的，并未考慮典型變壓器中控制交流電阻的外部鄰近效應(yīng)。用(2)式精確地預(yù)測(cè)線束的交流電阻，可以得到交流電阻因數(shù)Fr =9.2。根據(jù)熱阻的經(jīng)驗(yàn)值7℃/W，為將使每個(gè)繞組都產(chǎn)生5.6W的損耗(包括所有的繞組損耗和鐵心損耗)，而且總溫升為87℃。
    　　在股線尺寸遠(yuǎn)大于一個(gè)趨膚深度時(shí)，(2)式無(wú)效。在一個(gè)好的多股線設(shè)計(jì)中，股線尺寸一般都不會(huì)那么大，不過此處的設(shè)計(jì)還遠(yuǎn)不是一個(gè)好設(shè)計(jì)，所以進(jìn)行檢查是必要的。150kHz時(shí)銅的趨膚深度約為0.17mm(33AWG或34AWG導(dǎo)線的直徑)，所以在此范圍內(nèi)(2)式有效。注意，即便是設(shè)計(jì)并未經(jīng)過精心選擇，其交流電阻仍比任何單股設(shè)計(jì)低。在這種情況下，最好的單股設(shè)計(jì)就是采用單層繞組，也幾乎會(huì)使交流電阻比第一次設(shè)計(jì)的增加3倍。

    　　現(xiàn)在將第4節(jié)中得到的結(jié)果應(yīng)用在這個(gè)變壓器上。首先，假定用44AWG的導(dǎo)線并計(jì)算出股數(shù)來(lái)獲得如圖6所示的相應(yīng)交流電阻因數(shù)(也如表1所示)。于是得到Fr =1.535，且44AWG的股數(shù)為1131。盡管這比第一次設(shè)計(jì)的直流電阻大(#40線1100股)，但它的總交流電阻降低59%，此外，預(yù)計(jì)相對(duì)價(jià)格也會(huì)減少25%。
    　　表2匯集了本次以及一些更為深入的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)。顯示的價(jià)格和損耗數(shù)據(jù)既歸一化到根據(jù)制造商樣本數(shù)據(jù)的初始設(shè)計(jì)，也歸一化到這種全新的用44AWG導(dǎo)線的最佳價(jià)格/損耗設(shè)計(jì)。后一種歸一化值，圖5繪出了各種可能的價(jià)格/損耗。從圖上，立刻就可以選出所需的價(jià)格/損耗折衷值。例如，可以選擇保持損耗固定在初始設(shè)計(jì)值上不變，或者進(jìn)一步優(yōu)化找出最小的總價(jià)格，其中包括設(shè)備壽命期內(nèi)消耗的能量所需的價(jià)格，以及其它一些由于工作效率較低和熱量產(chǎn)生較多所間接導(dǎo)致的價(jià)格。
    　　表2中的設(shè)計(jì)包含100股的38AWG線，損耗與原來(lái)的設(shè)計(jì)相同 ,而價(jià)格只是原先的13%，還有1050股44AWG導(dǎo)線，這是一種標(biāo)準(zhǔn)的產(chǎn)品樣本結(jié)構(gòu)，其價(jià)格和損耗值接近于計(jì)算選出的1131股相同尺寸的導(dǎo)線的。采用這種設(shè)計(jì)，可以在不增加價(jià)格的同時(shí)使溫升從原來(lái)的87℃降到42.5℃。

 

    　　作為對(duì)照，表2還列出了用其他方法計(jì)算出的最低損耗設(shè)計(jì)方案。對(duì)這種變壓器，用220000股的63AWG導(dǎo)線將產(chǎn)生最小的損耗。(4)式得出的這種股線尺寸的價(jià)格估計(jì)值一點(diǎn)也不精確，不過可以肯定的是，如果能夠制造出那種多股導(dǎo)線，價(jià)格會(huì)很高。但是如果真有這種可能，63AWG線的損耗減小為1050的44AWG線損耗的四分之一。表2還包括一個(gè)48AWG的設(shè)計(jì)方案，用來(lái)形象地說明一種更加實(shí)用的高損耗、低價(jià)格方案。
    　　表2還包括根據(jù)(4)式預(yù)測(cè)的相對(duì)價(jià)格和從兩位制造商處引用的實(shí)際相對(duì)價(jià)格。這些引用數(shù)據(jù)分別從用于產(chǎn)生與(4)擬合的曲線所引用的數(shù)據(jù)中獲得的，因此提供了一個(gè)獨(dú)立地用(4)式預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度的機(jī)會(huì)。用38AWG設(shè)計(jì)，兩個(gè)制造商的歸一化價(jià)格為0.17和0.12，相差35%，估計(jì)值0.13落在兩者之間。用1050股44AWG設(shè)計(jì)，兩個(gè)制造商的歸一化價(jià)格為0.98和0.75，相差27%，而估計(jì)值0.69比兩個(gè)實(shí)際價(jià)格都低，低35%或8%?？傊灰竿?4)式給出的價(jià)格估計(jì)值能夠精確到35%以下，只能用它指導(dǎo)價(jià)格的大概趨勢(shì)。正如在第3節(jié)中所說的，(4)式的平滑曲線只是一種理想化曲線，并不包括許多可能在某個(gè)特定供貨商定價(jià)上的許多怪招。聰明的設(shè)計(jì)者會(huì)和供貨商仔細(xì)地探討這些問題。數(shù)量較少的股線，允許用不同的設(shè)備，或者數(shù)量較大的股線，可以標(biāo)準(zhǔn)化地生產(chǎn)并大批量存儲(chǔ)，就可能存在一些本文分析未抓住的降低價(jià)格的機(jī)會(huì)。在找到理論上的最佳設(shè)計(jì)方案后，再研究一下可能的調(diào)整方案。
    　　(3)式中設(shè)下的不變價(jià)格也限制了價(jià)格估計(jì)的準(zhǔn)確度。不過這并不影響最佳值的位置，但是卻確實(shí)影響到了估計(jì)價(jià)格的準(zhǔn)確度，而且確定出引用價(jià)格的固定部分，將會(huì)提高估價(jià)的準(zhǔn)確性。然而，給定估價(jià)中的最大誤差為35%，即等于歸一化價(jià)格與兩制造商價(jià)格之間的最大差別，價(jià)格準(zhǔn)確度就不會(huì)有大的提高。已經(jīng)證實(shí)了這種模型和方法在任何情況下都能有效地減少價(jià)格或損耗。尤其是1050股的44AWG的設(shè)計(jì)，在低于原先價(jià)格的情況下減小了58%的損耗，在損耗不變時(shí)，100股的38AWG的設(shè)計(jì)，價(jià)格不足原來(lái)的1/5。
    　　假設(shè)產(chǎn)品連續(xù)工作，且能源的價(jià)格為0.1美元/kWh，計(jì)算出包括能源在內(nèi)的總設(shè)計(jì)價(jià)格。比較年平均價(jià)格和投資價(jià)格，其中價(jià)格恢復(fù)率為0.15，例如，壽命10年，折舊率為8.5%。使消耗1W所需的總能源價(jià)格的實(shí)際值為5.84美元。對(duì)這一特定例子來(lái)說，44AWG設(shè)計(jì)方案導(dǎo)線價(jià)格和能源價(jià)格最低。分析忽略了其它一些與額外能源消耗有關(guān)的價(jià)格，主要包括熱效應(yīng)和發(fā)電對(duì)環(huán)境的影響。熱效應(yīng)有可能降低可靠性或可能因需要散熱器和電扇等引起價(jià)格增加。即便是加入所有的這些價(jià)格，這種價(jià)格較高的低損耗設(shè)計(jì)仍是值得做的。
    　　6、設(shè)計(jì)流程

    　　圖7給出一個(gè)推薦的設(shè)計(jì)流程圖。利用前面圖中給定的數(shù)據(jù)和表1中收集的標(biāo)準(zhǔn)股線尺寸，產(chǎn)生出任意給定價(jià)格的最低損耗(或損耗一定的最低價(jià)格)設(shè)計(jì)方案。這個(gè)流程可在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。不過，因?yàn)樗枰脩舾鶕?jù)價(jià)格/損耗折衷做出決定，所以這個(gè)流程并不是全自動(dòng)的。另外，向制造商咨詢獲得實(shí)際的當(dāng)前報(bào)價(jià)也很有價(jià)值，而且在繞滿骨架的情況下，有必要用實(shí)驗(yàn)測(cè)量填充系數(shù)。

    　　圖8進(jìn)一步探索在可用的導(dǎo)線尺寸限制條件下可供選擇的的結(jié)構(gòu)。圖中不但包括圖5的理想化價(jià)格/損耗折衷曲線而且還繪出任意尺寸導(dǎo)線的曲線。很明顯，對(duì)一些規(guī)格數(shù)較小的導(dǎo)線(40AWG以下)，確切的導(dǎo)線尺寸并不十分重要，因?yàn)猷徑叽绲膶?dǎo)線，具有相似的價(jià)格和損耗性能。但是對(duì)較細(xì)的導(dǎo)線就有更多的必要去考慮用奇數(shù)的股線尺寸。該導(dǎo)線的實(shí)際價(jià)格可能取決于購(gòu)買的數(shù)量，因此不可能判定什么時(shí)候它是經(jīng)濟(jì)的。不過圖8強(qiáng)調(diào)了值得考慮之處。
    　　附錄1 損耗計(jì)算
    　　有人討論過Fr表達(dá)式(2)的來(lái)源。為方便讀者，這里再簡(jiǎn)要回顧一下。首先，考慮一個(gè)處于均勻磁場(chǎng)中的導(dǎo)電圓筒內(nèi)的損耗，磁場(chǎng)方向垂直于圓筒軸線，并假設(shè)圓筒內(nèi)的磁場(chǎng)也是恒定的，也就是假設(shè)直徑小于一個(gè)趨膚深度，長(zhǎng)度為l的導(dǎo)線內(nèi)消耗的功率P為：

　　(8)

    　　式中B為磁通密度峰值。P為推廣貝塞爾函數(shù)精確解的第一項(xiàng)。
    　　結(jié)合繞組中分布一梯形磁場(chǎng)的假設(shè)，就可以得到(2)式。繞組內(nèi)磁場(chǎng)增加呈線性是由于考慮到繞組中所有電流的作用。此處并不需要將某個(gè)多股線中其它股線的影響與其它多股線的影響分開，因?yàn)槟菢幼鲋粫?huì)使計(jì)算更加復(fù)雜。對(duì)繞組一邊磁場(chǎng)不為零的結(jié)構(gòu)而言，可以使用因子來(lái)解釋由此產(chǎn)生的損耗變化，式中。 假設(shè)多股導(dǎo)線每股共享相同的電流。如果已選定的多股線結(jié)構(gòu)，是用來(lái)控制導(dǎo)線束層趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)的，那么這便是一個(gè)很好的近似。
    　　附錄2 最佳價(jià)格-損耗曲線的推導(dǎo)
    　　引入固定項(xiàng)ζ，表達(dá)式(2)可以簡(jiǎn)化為

　　(9)

    　　給定價(jià)格C1，我們希望找到合適的n和dc使總損耗最小?？倱p耗正比于總電阻因子Frt。

　　(10)

    　　式中Fdc為多股線直流電阻與單股繞組直流電阻的比值，其中單股繞組線的直徑等于多股絞線的直徑?；谶@種定義，

　　(11)

    　　式中dcss為能夠容納的最大單股導(dǎo)線直徑。為優(yōu)化起見，可以去掉這個(gè)常量，于是有

　　(12)

    　　為使總損耗最小，保持價(jià)格不變，可以用(3)式消去(12)式中的n，得到

　　(13)

    　　式中C1是(3)式減去固定項(xiàng)C0后的有效價(jià)格。將表達(dá)式對(duì)dc求導(dǎo)后等于零，可得

　　(14)

    　　式中Cm′(dc)為Cm(dc)對(duì)dc的導(dǎo)數(shù)。
    　　給定表達(dá)式Cm(dc)和有效價(jià)格C1，(14)式可以解出最佳的dc值。但是，可能推導(dǎo)出若干個(gè)更加一般的結(jié)果，這些結(jié)果能夠繪出圖5和圖6，還可供其它參考。解出(14)式中的ζ并將結(jié)果代入(11)，然后用(3)消去n，得到

　　(15)

    　　該式描述導(dǎo)線尺寸和最佳價(jià)格/損耗值Fr之間的關(guān)系并記為Fr，CL(dc)，如圖6所示。(15)式:
    　　與常數(shù)ζ中的具體設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)的相互獨(dú)立性表明了該結(jié)果的普遍性。
    　　圖5顯示的關(guān)系的一般性如下所示。由(14)式可得

　　(16)

    　　或

　　(17)

    　　利用關(guān)系式 ，可寫出

　　(18)

    　　因此，由(17)式

　　(19)

    　　如果將(19)和(17)式歸一化，如圖5所示，就可以丟掉對(duì)特殊設(shè)計(jì)問題有效的常量ζ和dcss。因此，可以用參數(shù)為dc的(19)和(17)式繪出任意給定價(jià)格函數(shù)的歸一化價(jià)格和損耗曲線。圖5畫出了(4)式的歸一化價(jià)格和損耗曲線。
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